O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro do arcabouço da Matemática. Entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais.
Apresentamos abaixo uma breve exposição sobre os números naturais, onde o Princípio da Indução se insere adequadamente e mostra sua força teórica antes de ser utilizado nos exercícios propostos ao final.
Deve-se a Giussepe Peano (1858-1932) a constatação de que se pode elaborar toda a teoria dos números naturais a partir de quatro fatos básicos, conhecidos atualmente como os axiomas de Peano. Noutras palavras, o conjunto N dos números naturais possui quatro propriedades fundamentais, das quais resultam, como conseqüências lógicas, todas as afirmações verdadeiras que se podem fazer sobre esses números.
Começaremos com o enunciado e a apreciação do significado dessas quatro proposições fundamentais a respeito dos números naturais.
1. Os Axiomas de Peano
Um matemático profissional, em sua linguagem direta e objetiva, diria que o conjunto N dos números naturais é caracterizado pelas seguintes propriedades:
A. Existe uma função s : N ® N, que associa a cada n Î N um elemento s(n) Î N, chamado o sucessor de n.
B. A função s : N ® N é injetiva.
C. Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 ¹ s(n) para todo n Î N.
D. Se um subconjunto X Ì N é tal que 1 Î N e s(X) Ì X (isto é, n Î X Þ s(n) Î X), então X = N.
As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano. A notação s(n) é provisória. Depois de definirmos adição, escreveremos n + 1 em vez de s(n).
Como concessão à fraqueza humana, nosso matemático nos faria a gentileza de reformular os axiomas de Peano em linguagem corrente, livre de notação matemática. E nos diria então que as afirmações acima significam exatamente o mesmo que estas outras:
A'. Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
B'. Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (Ou ainda: números que têm o mesmo sucessor são iguais.)
C'. Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. Este número é representado pelo símbolo 1 e chamado de "número um".
D'. Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com N, isto é, contém todos os números naturais.
2.
Um dos axiomas de Peano, o último, possui claramente uma natureza mais elaborada do que os demais. Ele é conhecido como o axioma da indução. Faremos dele uma análise detida, acompanhada de comentários.
O papel fundamental do axioma da indução na teoria dos números naturais e, mais geralmente, em toda a Matemática, resulta do fato de que ele pode ser visto como um método de demonstração, chamado o Método de Indução Matemática, ou Princípio da Indução Finita, ou Princípio da Indução, conforme explicaremos agora.
Seja P uma propriedade que se refere a números naturais. Um dado número natural pode gozar ou não da propriedade P.
Por exemplo, seja P a propriedade de um número natural n ser sucessor de outro número natural. Então 1 não goza da propriedade P, mas todos os demais números gozam de P.
O Princípio da Indução diz o seguinte:
Princípio da Indução: Seja P uma propriedade referente a números naturais. Se 1 goza de P e se, além disso, o fato de o número natural n gozar de P implica que seu sucessor s(n) também goza, então todos os números naturais gozam da propriedade P. Que equivale a:
Seja P(n) uma sentença aberta sobre N. Se
(i) P(1) é verdadeira; e
(ii) qualquer que seja n Î N, sempre que P(n) é verdadeira, segue que
P(n + 1) é verdadeira.
Então, P(n) é verdadeira para todo n Î N
Para ver que o Princípio da Indução é verdadeiro (uma vez admitidos os axiomas de Peano) basta observar que, dada a propriedade P cumprindo as condições estipuladas no enunciado do Princípio, o conjunto X dos números naturais que gozam da propriedade P contém o número 1 e é indutivo. Logo X = N, isto é, todo número natural goza da propriedade P. As propriedades básicas dos números naturais são demonstradas por indução. Comecemos com um exemplo bem simples.
Exemplo:Vejamos como usar esse método para mostrar a validade, para todo natural n, de que a soma dos n primeiros números ímpares é n², ou seja, que
1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n².
Demonstração:
Observe que P(1) é verdadeira, já que a fórmula é trivialmente válida para n = 1 (1=1²).
Suponha agora que, para algum n natural, P(n) seja verdadeira; ou seja, que
1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n²
:
Queremos provar que P(n+ 1) é verdadeira. Somando 2n+ 1, que é o próximo número ímpar após 2n-1, a ambos os lados da igualdade acima, obtemos a igualdade também verdadeira:
1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) + (2n + 1) = n² + (2n + 1)
1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) + (2n + 1)= (n + 1)²
Logo P(n+1) é verdadeira.
Pelo principio de indução 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n² , para todo n Î N
,:
Nas demonstrações por indução, a hipótese de que a propriedade P é válida para o número natural n (da qual deve decorrer que P vale também para s(n)) chama-se hipótese de indução.
Vários resultados conhecidos podem ser provados por indução, como por exemplo o Binômio de Newton.
Veja nas referências mais exercícios.
Referências:
Vários resultados conhecidos podem ser provados por indução, como por exemplo o Binômio de Newton.
Veja nas referências mais exercícios.
Referências:
